Optimierte Inzidenz

Mortalitätspunkte und eine Fit-Gerade in einem Logplot

Abbildung 3 aus dem Paper von Levine et al, auf das ich unten ein wenig eingehe: das Risiko, an SARS-2 zu sterben, geht ziemlich genau exponentiell mit dem Alter (die Ordinate ist logarithmisch aufgeteilt). Diese Beobachtung führt ziemlich direkt zu einem Kult-Paper aus den wilden Jahres des Internet. CC-BY doi:10.1007/s10654-020-00698-1.

Als das WWW noch jung war und das Internet jedenfalls nicht alt, im Dezember 1999 nämlich, haben Chris Gottbrath, Jeremy Bailin, Casey Meakin, Todd Thompson und J.J. Charfman vom Steward Observatory das bemerkenswerte Paper „The Effects of Moore's Law and Slacking on Large Computations“ auf astro-ph, der Astrophyik-Abteilung des Preprint-Servers arXiv, veröffentlicht. Obwohl das damals nach meiner Erinnerung hohe Wellen geschlagen hat (selbst slashdot, damals eine der wichtigsten Seiten im Netz, berichtete), haben sie es bis heute zu keiner Fachzeitschrift eingereicht. Keine Ahnung, warum nicht, denn ihr Punkt ist trotz ihres eher leichtfüßigen Stils[1] völlig korrekt und jedenfalls nicht ganz offensichtlich.

Gottbrath und Freunde sagen nämlich, dass, wer eine riesige Rechenaufgabe und ein festes Budget hat, durch Warten schneller fertig werden kann. Das liegt daran, dass mensch nach 18 Monaten (das ist die konventionelle Zeitskala für Moore's Law) fürs gleiche Geld einen Rechner mit doppelt so vielen Transistoren kaufen kann und der wird mit etwas Glück doppelt so schnell sein wie der, den mensch heute kaufen würde. Sie berechnen auch, wie groß eine Rechnung sein muss, damit sich das Warten lohnt: mit dem 18-Monate-Gesetz ist die Grenze bei Aufgaben, die 26 Monate rechnen würden.

Weil das Paper damals in meiner Blase intensiv herumgereicht worden ist, finde ich überraschend, dass es laut ADS nur sechs Mal zitiert (wenn auch von einer illustren Auswahl von Papern) worden ist und bei den üblichen Suchmaschinen bei Anfragen wie „Moore's Law optimal waiting“ nicht in Sicht kommt.

Transistoren vs. SARS-2

Gesucht hatte ich es wiederum, weil ich ja schon länger mit Niedriginzidenzsstrategien hadere. Ganz unabhängig davon, ob wir als Gesellschaft hohe Inzidenzen ohne Schrammen überstehen, dürfte inzwischen niemand mehr ernsthaft bestreiten, dass „am Ende“ alle SARS-2 gehabt haben werden – die Frage ist nur, wann („werden wir im Herbst 2022 wieder einen Lockdown brauchen?“) und auch, wie viele Menschen bis dahin wegen SARS-2 schwer krank geworden oder gar gestorben sein werden.

An diesem Punkt ist mir das 1999er-Paper eingefallen, denn wir haben bei SARS-2 etwas ganz ähnliches wie Moore's Gesetz: Die Sterblichkeit nach einer Erstinfektion steigt exponentiell mit dem Alter. Das haben im September 2020 (also einige Monate, bevor Impfungen gegen SARS-2 epidemiologisch relevant wurden) Andrew Levin und Kollegen in ihrem Artikel „Assessing the age specificity of infection fatality rates for COVID-19: systematic review, meta-analysis, and public policy implications“ (doi:10.1007/s10654-020-00698-1) recht sorgfältig und beeindruckend gezeigt. Die Abbildung am oben im Post ist aus dieser Arbeit.

Da hier das Risiko und nicht die Leistung zunimmt, ist jetzt allerdings die Frage nicht, ob mensch lieber etwas warten soll. Nein, je älter Leute werden, desto größer ist ihr Risiko, eine SARS-2-Infektion nicht zu überleben, und dieses Risiko wächst ziemlich steil. Der Gedanke, die Gesamtopferzahl könnte sinken, wenn sich Menschen anstecken, solange sie noch jünger sind und sie also die Infektion mit höherer Wahrscheinlichkeit überleben, liegt also nicht fern. Die zur Prüfung des Gedankens notwendige Mathematik läuft im Wesentlichen analog zu den Überlegungen von Gottbrath und Freunden.

Ethisch ist es natürlich nicht analog, aber ich wollte dennoch wissen, wie viel das eigentlich ausmachen könnte. Deshalb habe ich mir folgendes Modell ausgedacht:

  1. Die Infection Fatality Rate, also die Wahrscheinlichkeit, an einer (erkannten oder unerkannten) SARS-2-Infektion zu sterben, ist inspiriert von der Abbildung oben

    IFR = exp((t − A1) ⁄ λ) ⁄ 100.

    Dabei ist t das Alter der erkrankten Person, A1 das Alter, in dem 1% der Infizierten versterben (das pro-cent ist auch der Grund für die Division durch Hundert), und λ so etwas wie die Steigung; nennt mensch das Alter, in dem die Todesrate auf 10% gestiegen ist, A10, so lässt sich leicht

    λ = (A10 − A1) ⁄ ln(10)

    ausrechnen.

  2. Eine ultrakompetente Regierung (oder Schwarmintelligenz auf Brillianzniveau cosmic) kriegt es hin, die Inzidenz konstant über viele Jahre auf i zu halten. In meiner Simulation bleibe bei der Interpretation als Wocheninzidenz und simuliere die Infektion von Woche zu Woche. Gegenüber den Inzidenzen in der realen Welt gibt es bei mir außerdem keine Dunkelziffer.

  3. Wer nicht an SARS-2 stribt, stirbt nach Gompertz (cf. Mortalität in der Wikpedia), es stirbt also jedes Jahr ein Anteil („General Fatality Rate”)

    GFR = S30⋅exp(G⋅(t − 30  a)).

    der t-jährigen. Dabei ist S30 die Sterberate für 30-jährige, die ich aus dem Wikipedia-Artikel als ungefähr 40/100000 pro Jahr ablese, und G der Gompertz-Sterbekoeffizient – ich bin nicht sicher, ob ich so eine Größe eigentlich nach mir benannt haben wollte -, den die Wikipedia als 0.08 ⁄  a gibt. Etwas jenseits von Gompertz lasse ich jede Woche 1/52 der fürs jeweilige Wochen-Alter berechneten Menschen sterben; das macht vor allem die Kurven von SARS-2-Opfern über der Zeit glatter.

  4. Wer eine SARS-2-Infektion überlebt hat, stirbt nicht mehr an SARS-2. Das ist sicher eine unrealistische Annahme, aber sie macht das Modell auch deutlich klarer.

Bliebe noch die Schätzung der Parameter aus der Formel für die IFR. Aus der Abbildung am Artikelanfang lese ich per Auge A1 = 65  a und A10 = 83  a ab (wer von den a irritiert ist: das ist die Einheit, nämlich das Jahr).

Hier liegt die zweite wesentliche Schwäche meines Modells: Nachdem inzwischen in den dabei mitspielenden Altersgruppen wirklich eine überwältigende Mehrheit geimpft ist, werden diese Zahlen heute garantiert anders aussehen als in der ersten Jahreshälfte 2020, als die Studien gemacht wurden, die Levine et al ausgewertet haben. Andererseits legen die immer noch recht erheblichen Sterbefallzahlen nahe, dass sich die Kurve wohl nur ein wenig nach rechts verschoben haben wird; ich komme gleich nochmal darauf zurück.

Der Berg des Todes

Habe ich dieses Modell, kann ich einer Gruppe von Menschen folgen, bis sich (fast) niemand mehr infizieren kann, weil alle entweder tot oder in meinem Sinne immun sind. Ohne es probiert zu haben, glaube ich, dass das Modell einfach genug ist, um es in eine geschlossen lösbare Differentialgleichung umschreiben zu können. Aber wer will denken, wenn es doch Computer gibt?

Und so habe ich die Modellannahmen von oben einfach in ein paar Zeilen Python gepackt und folge dem Schicksal einer Kohorte von 100000 70-jährigen, bis alle tot oder genesen sind. Und das mache ich für einen Satz von Inzidenzen zwischen 20 und 2000. für Das Ergebnis:

Eine Kurve mit einem deutlichen Maximum um die 100

Ich gebe zu, dass ich mit dieser Kurvenform nicht gerechnet hatte. Dass ganz niedrige Inzidenzen die Todeszahlen drücken, ist zwar zunächst klar, denn bei, sagen wir, 20/100000/Woche würde es 100000 ⁄ 20 = 5000 Wochen oder fast 100 Jahre dauern, bis alle mal das Virus hätten haben können, und in der Zeit sind 70-jährige natürlich anderweitig gestorben.

Das hohe und recht steile Maximum um die 100 herum hatte ich so aber nicht erwartet. Zu ihm tragen vor allem Leute bei, die erst nach einigen Jahren – und dann deutlich gebrechlicher – mit SARS-2 in Kontakt kommen. Bei einer 100er-Inzidenz sieht die Wochensterblichkeit über der Zeit (in Wochen) so aus (cf. make_hist_fig im Skript):

Kurve mit einem Maximum zwischen 1000 und 1700 Wochen

Diese Kurve wäre ziemlich zackig, wenn ich strikt nach Gompertz-Formel nur ein Mal im Jahr natürliche Tode hätte, statt die diese geeignet auf die Wochen zu verteilen.

Die Menschen, die am Anfang der Pandemie 70 sind, sterben in diesem Modell also typischerweise nach 1000 Wochen oder fast 20 Jahren, wenn sie ihn ihren 90ern wären. Das mag etwas fantastisch klingen. Jedoch: Das RKI hat früher immer dienstags die Demographie der Verstorbenen veröffentlicht (z.B. Bericht vom 30.3.2021, siehe S. 12), und tatsächlich sind 20% der Coronatoten in der Altersgruppe 90-99.

Aber klar: Das ist hypothetisch. Niemand kann die Inzidenzen konstant auf 100 halten, und niemand wird das vernünftigerweise wollen. Vor allem aber mag die Impfung die IFR-Kurve durchaus so weit nach rechts verschieben, dass der Sterblichkeitspeak, der hier noch bei 90-jährigen sitzt, jenseits der 100 rutscht, und dann betrifft das, bei heutigen Lebenswerwartungen, praktisch niemanden mehr.

Zynische Metriken

Als Gedankenexperiment jedoch finde ich das Ganze schon bemerkenswert: Wenn wir eine 1000er-Inzidenz aushalten können, würden wir nach diesem, eingestandenermaßen idealisierten, Modell 7% der 70-jährigen den Tod durch SARS-2 ersparen.

Ein so starker Effekt muss eigentlich schon aufgefallen sein. Wenn das kein Fehler auf meiner Seite ist: steht das schon irgendwo in der epidemiologischen Literatur?

Allerdings ist die, ach ja, Metrik „Wie viele Leute sterben an SARS-2?“ auch ziemlich nichtssagend. Weit üblicher zur Einschätzung der Frage, wie viel Geld (oder Nerven) mensch für Interventionen gegen Krankheiten ausgeben mag, sind die YLL, Years of Life Lost (cf. nochmal DALY in der Wikipedia). Diese Metrik ist zwar – ganz wie meine Rechnung hier – ein wenig zynisch, aber doch nachvollziebar genug, dass ich mir aus meinem Modell auch nochmal die Gesamtlebensjahre habe ausspucken lassen, die meine 100000er-Kohorte in den Läufen mit den verschiedenen Inzidenzen hätte (make_years_fig im Programm). Das Ergebnis:

Kurve mit einem klaren Minimum bei 120

Das heißt: Eine 120er-Inzidenz[2] ist im Hinblick auf die Lebensjahre von augenblicklich 70-jährigen die ungünstigste Strategie, die gegenüber einer 1000er-Inzidenz immerhin ungefähr ein siebtel Jahr weniger Lebenszeit für den/die Modell-70-jährigeN bedeuten würde. Für ältere liegt die kritische Inzidenz übrigens höher (experimentell: 75 Jahre – 150, 80 Jahre – 220; wers selbst untersuchen will: Zeile 59 im Skript).

Was mensch angesichts der anderen Folgen hoher und extrem hoher Inzidenzen mit dieser Einsicht – die ich für durchaus robust halte – macht, steht indes auf einem anderen Blatt. Ganz offen gestanden scheint mir, dass eine Gesellschaft, die die hohen Inzidenzen, über die ich hier spekuliere, aushalten kann – also: ohne dass Leute vor den Krankenhäusern sterben, während die Feuerwehr wegen extremem Krankenstand nicht mehr ausrücken kann –, dass sich so eine Gesellschaft um ein Management von Inzidenzen keine Gedanken mehr machen muss.

[1]Ah, und trotz des unverzeihlichen $t_{finish}$ in ihrem TeX-Code; richtig wäre z.B. $\t_\textrm{finish}$ gewesen (oder eine der Varianten, je nach TeX-Format).
[2]Nur nochmal zur Klarheit: Das Modell hat keine Dunkelziffer. Für die BRD wird, glaube ich, gerade spekuliert, dass etwa jede zweite Infektion in den Zahlen des RKI reflektiert wird (wobei das natürlich stark altersabhängig ist, da ja auch stark altersabhängig gescreent wird). Dann wäre die 120er-Inzidenz eine 60 in den RKI-Zahlen, und das wiederum speziell in der jeweiligen Altersgruppe. Und natürlich: Mit der aktuellen Realität hat das schon deshalb wenig zu tun, weil die Modellierung keine Impfungen enthält.

Zitiert in: SARS-2 ist in etwa fertig

Kriegsfieber aktuell

Bar-plot in
    		Tönen von Oliv
(Erklärung)