Escher in der ODEG: Ein Bahnfenster mit merkwürdiger Parkettierung

Spätestens seit M.C. Escher[1] ist Parkettierung, die überlappungsfreie Füllung der Ebene mit mehr oder minder interessanten Teilfächen, nicht nur unter MathematikerInnen Kult. Sie gehört, im Zweifel via Douglas Hofstadters immer noch lesenswerten Gödel Escher Bach, auch zu den Klassikern der HackerInnenkultur. So hat sie sogar eine Rolle in Neal Stephensons (in der ersten zwei Dritteln wirklich sehr lesenswerten) Buch Anathem, das, in meiner Interpretation, eine Welt beschreibt, in der die Pythagoräer gewonnen haben und deshalb die technische Ziviliation schon zweitausend Jahre früher begonnen hat.

Lasst mich eine Szene aus dem Buch zitieren, in der sich zwei Angehörige der aus diesen Urzeiten nachgebliebenen pythagoräischen Orden wie folgt unterhalten:

„Seine Berufung waren die Fliesen,“ sagte Lio. „Er hat die prächtige Verfliesung der Neuen Waschstube gefertigt.“

„Den Geometriekram,“ sagte ich.

„Ja. Aber es scheint, dass das eher eine Art Vorwand war. In Wahrheit hat er wohl ein uraltes Geometrieproblem verfolgt, das Teglon. Es ist ein Parkettierungsproblem, und es geht bis auf den Tempel von Orithena zurück.“

„Ist das nicht der Kram, der Leute verrückt macht?“ fragte ich.

(Meine Übersetzung; der letzte Satz mag wieder eine Referenz auf Gödel Escher Bach sein: vgl. Gödels Krankheit).

An diese Geschichte musste ich denken, als ich neulich in einem ODEG-Zug („RE 1“ ist dessen Berliner Name; allerdings heißen dort erstaunlich viele Linien mit erstaunlich vielen Anfangs- und Endpunkten so) im abendlichen Gegenlicht an oder in den Fenstern über dem oberen Stockwerk der Doppelstockwagen ein schwaches Muster sah:

Zunächst dachte ich, das sei eine einfach irgendein zufälliges Muster, mit dem die Hersteller die Splitterschutz-Folie im Verbundglas verstärkt hat, oder vielleicht gar ein Artefakt des Produktionsverfahrens. Wer genau hinsieht, wird jedoch finden, dass die Striche in Wirklichkeit aus parallelen Unter-Strichen bestehen (schaut in der Näher der Fokalebene), was mich etwas ins Zweifeln gebracht hat. An den Zusammenhang mit Splitterschutz glaube ich jedoch immer noch, trotz der Versuchung, an Strom oder Sensor zu denken; mein zweiter Erklärungs-Kandidat wäre Scheibenheizung gewesen, aber welchen Sinn sollte so etwas in einem Passagierwaggon haben?

Zufällig oder produktionsbedingt ist das Muster aber überhaupt nicht. Live ist das durch hinreichend flaches Ansehen schnell zu erkennen, sobald mensch eine richtige Achse wählt. Für hier habe ich das mal etwas entzerrt und horizontal und vertikal zwei Geschwisterzellen markiert:

Mensch muss also zwei Zellen horizontal oder drei Zellen vertikal weitergehen, damit das Gitter wieder in sich übergeht. Dass so eine relativ kurze Periode ein auf den ersten Blick jedenfalls für mich so chaotisches Bild hergibt, hätte ich schon mal nicht gedacht.

Eingestanden: Wahnsinnig wie bei Stephenson wird mensch davon nicht. Aber es hat mich immerhin dazu gebracht, nochmal nachzulesen, was Penrose-Kacheln sind (sind die hier nicht) und danach die vielen hübschen Bilder im allgemeinen Parkettierungs-Artikel der Wikipedia zu betrachten. Mensch muss schon ziemlich weit scrollen, bis die hier vorliegende Klasse kurz angerissen wird: Parkettierungen mit sonstigen unregelmäßigen Polygonen ist im Augenblick so in etwa 63% runter.

Das OBEG-Muster besteht aus unregelmäßigen Sechsecken, was die Wikipedia derzeit noch nicht diskutiert. Sie erwähnt immerhin, dass derzeit nur 15 kachelbare konvexe Fünfecke bekannt sind. Da mensch mit Sechsecken platonisch (also: regelmäßige Kacheln und alle Kacheln gleich groß) parkettieren kann, würde ich raten, dass es demgegegenüber bei Sechsecken beliebig viele Parkettierungen gibt; an sich sollte es ja kein Problem sein, jede Ecke ein wenig oder auch ein wenig mehr zu ziehen, wenns nicht drauf ankommt, dass alle Sechsecke gleich sind.

Was dann auf die Frage führt: Hatten die Leute, die dieses Glas gemacht haben, starke Gründe, die Ecken gerade so zu ziehen, wie sie es gemacht haben? Und damit gleich auf die nächste Frage: Warum haben sie nicht überhaupt einfach regelmäßige Sechsecke („Wabenmuster“) genommen? Dazu wäre meine Vermutung, dass mit dem gewählten Muster nur viel schwächere Vorzugsachsen existieren, von denen es bei einem Wabenmuster ja mindestens 12 sehr deutliche gibt.

Dass Vorzugsachsen bei einem Splitterschutz eher unwillkommen sind, scheint mir plausibel. Aber ich habe keine wirkliche Ahnung, und weder Wikipedia noch Duckduckgo haben mir unter Schlagwörtern wie Verbundglas und Wabe oder Hexagon halbwegs flott irgendwas Vielversprechendes geliefert.

Wer etwas weiß: ich freue mich über Einsichten per Mail.